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线性代数 13 - 习题赏析

2017-12-05
Geng

这部分内容是对前面内容的复习。当然是在题目中复习了。

1

令 $u, v, w$ 是 $R^7$ 空间内的非零向量,则 $u, v, w$ 生成的向量空间维数是多少?

三个向量的生成空间,不管这三个向量本身在几维空间,它们组成的矩阵的秩不可能超过 $3$, 那么只能是 $0, 1, 2, 3$. 因为题目要求是非零向量, 那么就是 $1, 2, 3$ 维了.

2

2.1

有一个 $5 \times 3$ 矩阵 $U$,该矩阵为阶梯矩阵(echelon form),有 $3$ 个主元, 那么 $U$ 的零空间有什么?

三个主元, 则能够得到该矩阵的秩为 $3$,三个列向量线性无关,不存在非零向量使得三列的线性组合为零向量,所以该矩阵的零空间只有零向量.

2.2

如果另一个 $10 \times 3$ 矩阵 $B=\begin{bmatrix}U\\2U \end{bmatrix}$,那么这个矩阵的秩是多少?阶梯矩阵是什么样的?

首先根据分块矩阵思想, $B$ 可化简为阶梯矩阵形式: $\begin{bmatrix}U\\0 \end{bmatrix}$,$rank(B)=rank(U)=3$。

2.3

如果有一个矩阵型为 $C=\begin{bmatrix}U & U \\ U & 0 \end{bmatrix}$, 它的行最简形是什么?

化为最简形式应为 $\begin{bmatrix}U & 0 \\ 0 & U \end{bmatrix}$

2.4

那么矩阵 $C$ 的秩是多少? 它的转置矩阵零空间维数多少?

根据上面的化简,可知 $rank(C)=6$. 同时由 $C$ 的构成可知它是一个 $10 \times 6$ 矩阵.

因为 $dim(C^T) = dim(C) = 6$, 那么 $dim(N(C^T)) = 10 - 6 = 4$

3

3.1

已知

,

$A$ 是什么?

  • 根据 $b$ 的行数, 可以看出 $A$ 的列数为 $3$. 再根据解的行数, 可知 $A$ 的行数为 $3$. 所以 $A$ 是一个 $3 \times 3$ 矩阵.

  • 然后再看下 $A$ 的秩. 因为 $X$ 有两个特殊解, 所以零空间维数为 $2$, 那么 $A$ 的秩就为 $1$.

  • 那么 $A$ 到底是什么呢? 首先看 $Ax=b$, 解的第一个向量 ($c=d=0$) 肯定是这个方程的解, 那么 $A$ 的第一列就是 $\begin{bmatrix}1\\2\\1 \end{bmatrix}$.

  • 解的第二个向量在零空间中, $Ax=b$ 的解包含零空间的特殊解,说明第二列与第一列符号相反,所以矩阵第二列是$\begin{bmatrix}-1\\-2\\-1 \end{bmatrix}$;解的第三个向量在零空间中,说明第三列为零向量;综上,$A=\begin{bmatrix}1 & -1 & 0\\ 2 & -2 & 0\\ 1 & -1 & 0\\ \end{bmatrix}$。

3.2

那么 $b$ 要满足什么条件, 才能使得 $Ax=b$ 有解呢?

前面有过分析, 当 $b$ 属于 $A$ 的列空间时才有解. 所以这里需要知道 $A$ 的列空间. 因为 $R(A) = 1$, $A$ 的列空间为$c\begin{bmatrix}1\\2\\1 \end{bmatrix}$, 所以$b=c\begin{bmatrix}1\\2\\1 \end{bmatrix}$

4

有一方阵的零空间中只有零向量,那么其转置的零空间(左零空间)呢?

首先是方阵, 那么行列数目相等, 那么其左零空间也只有零向量。

5

5.1

由$5 \times 5$矩阵组成的矩阵空间,其中的可逆矩阵能否构成子空间?

  • 首先考虑其中有零矩阵吗? 因为是可逆的, 所以必然没有零矩阵在其中, 那么必然不能构成子空间.

  • 而且两个可逆矩阵相加的结果并不一定可逆, 所以从这个角度看也是不行.

5.2

那么奇异矩阵(singular matrix,非可逆矩阵)可以构成子空间吗?

  • 首先考虑另矩阵, 在里面. 这一条不能排除.

  • 那么再考虑相加,相加的结果并不一定能够保持不可逆, 所以也能构成子空间.

6

是否存在矩阵, 其平方为0, 且不是零矩阵

举反例是最好的方法, 比如:$\begin{bmatrix}0 & 1\\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.

这个矩阵经常会被用作反例

7

方阵的列向量线性无关,则 $Ax=b$ 是否总有解?

因为线性无关, 那么满秩,它是可逆矩阵,肯定有解。$x = A^{-1}b$

8

8.1

一个矩阵

在不求解 $B$ 的情况下,求 $B$ 的零空间?

首先可以看出 $C$ 是可逆矩阵,则求零空间$Bx=0, CDx=0$,就变成了 $Dx=0$. 这样我们只需要求 $D$ 的零空间.

观察 $D$ 的结构为 $\begin{bmatrix} I & F \\0 & 0 \end{bmatrix}$, 那么 $Dx=0$ 就是 $\begin{bmatrix} I & F \\0 & 0 \end{bmatrix}x = 0$,

那么$N(B)$的基为 $\begin{bmatrix}-F\\I\\ \end{bmatrix}$,也就是 $\begin{bmatrix}1\\-1\\1\\0 \end{bmatrix}\quad\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\1\end{bmatrix}$

8.2

然后求解 $Bx=\begin{bmatrix}1\\0\\1 \end{bmatrix}$ 的通解。

观察 $B=CD$,$D$的第一列是 $(1, 0, 0)^T$, 只会”提取” $C$ 的第一列, 那么 $B$ 的第一列就只跟 $C$ 的第一列有关, 就是 $(1, 0, 1)^T$. 同时可以发现, $(1, 0, 1)^T$ 就是代求方程等号右边的向量 $b$. 也就是说 $B$ 的第一列等于 $b$. 因为 $B$ 会受到 $x$ 的”调制”, 那么这个时候可以得出 $x=(1, 0, 0, 0)^T$

再利用上一问中求得的零空间的基,得到通解

9

对于任意方阵,其行空间是否等于列空间?

我们可以说行空间和列空间的维数相同, 但是从没说过两个空间相同. 比如经典反例 $\begin{bmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\\ \end{bmatrix}$, 其行空间是向量 $\begin{bmatrix}0 & 1\\ \end{bmatrix}$ 的任意倍数,而列空间是向量 $\begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}$ 的任意倍数。但是如果该方阵是对称矩阵,则成立。

10

如果 $A, B$ 的四个子空间相同,则 $A$ 是 $B$ 的倍数吗?

考虑意两个 $n$ 阶可逆矩阵,他们的列空间、行空间均为 $R^n$,他们的零空间、左零空间都只有零向量,所以他们的四个子空间相同,但是并不一定具有倍数关系。

11

如果交换矩阵的某两行,那些字空间没变?

其行空间与零空间保持不变,而列空间与左零空间改变。

12

为什么向量 $v=(1, 2, 3)$ 不能同时出现在矩阵的行空间与零空间中?

代入方程, 一看就不行啊. $1^2 + 2^2 + 3^2 = 0$? 怎么可能?!


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