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线性代数 10 - 四个基本子空间

2017-12-01
Geng

在熟悉了秩和维数后, 我们将要综合四个子空间, 来看看线性代数的核心. 秩就是主元的数目, 子空间的维数就是基的向量的个数.

秩揭示了四个子空间的维数, 这四个子空间是:

  • 行空间 $C(A^T) \in R^n$ (即 $R^n$ 的子空间), $dim C(A^T)=r$

  • 列空间 $C(A) \in R^m$ (即 $R^m$ 的子空间), $dim C(A)=r$,主元所在的列即可组成列空间的一组基。

  • 零空间 $N(A) \in R^n$ (即 $R^n$ 的子空间), $dim N(A)=n-r$,自由元所在的列即可组成零空间的一组基。

  • 左零空间 $N(A^T) \in R^m$ (即 $R^m$ 的子空间), $dim N(A^T)=m-r$

其中, 矩阵 $A$ 为 $m \times n$,$rank(A)=r$

对于列空间和零空间, 之前已经有了分析, 这里不再赘述

先看一个例子, 对于矩阵 $A$, 消元后变为最简形式 $R$:

行空间

由于我们做了行变换,所以 $A$ 的列空间受到影响,$C(R) \neq C(A)$,而行变换并不影响行空间,所以可以在 $R$ 中看出前两行就是行空间的一组基。

所以,可以得出无论对于矩阵 $A$ 还是 $R$,其行空间的一组基,可以由 $R$ 矩阵的前 $r$ 行向量组成(这里的 $R$ 就是第七讲提到的简化行阶梯形式)。

左零空间

对于左零空间,有 $A^Ty=0 \rightarrow (A^Ty)^T=0^T\rightarrow y^TA=0^T$,因此得名。

那么, 我们需要将矩阵转置, 然后从头开始计算左零空间吗? 我们已经做过 $A$ 到 $R$ 的化简, 我们先看看这个过程能不能给我们答案.

采用Gauss-Jordan消元,将增广矩阵 $\left[\begin{array}{c|c}A_{m \times n} & I_{m \times m}\end{array}\right]$ 中 $A$ 的部分划为简化行阶梯形式 $\left[\begin{array}{c|c}R_{m \times n} & E_{m \times m}\end{array}\right]$,此时矩阵 $E$ 会将所有的行变换记录下来。

则 $EA=R$,而在前几讲中,有当 $A’$ 是 $m$ 阶可逆方阵时,$R’$ 即是 $I$,所以 $E$ 就是 $A^{-1}$。

本例中

很明显,式中$E$的最后一行对$A$的行做线性组合后,得到$R$的最后一行,即$0$向量,也就是$y^TA=0^T$。


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