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线性代数 8 - 求解 Ax=b 可解性和解的结构

2017-11-01
Geng

前面知道了 $Ax=0$ 的解和零空间, 这里继续讨论 $Ax=b$ 的问题, 然后继续研究秩.

求解 $Ax=b$

我们将会完整解出线性方程组 $Ax=b$, 继续上次的例子:

求 $Ax=b$ 的解:

消元

写出其增广矩阵(augmented matrix)$\left[\begin{array}{c|c}A & b\end{array}\right]$, 然后消元:

观察最后一行, 可以发现, 有解的必要条件为 $b_3-b_2-b_1=0$.

那么 $b$ 满足什么条件才能让方程 $Ax=b$ 有解呢?

从列图像考虑, 当且仅当 $b$ 属于 $A$ 的列空间时成立.

从行图像考虑, 如果 $A$ 的各行线性组合得到 $0$ 行, 则 $b$ 中分量做同样的线性组合, 结果也为 $0$ 时,方程才有解.

求解方法

对于 $Ax=b$, 可以将其分为:

为什么呢? 上面方程组可以加起来, 写为 $A(x_p+x_n)=b$

我们现在要做的首先就是求出零空间内的特殊解, 然后求出满足 $Ax_p=b$ 的一个特解, 通解则是特解与零空间中任意向量之和, 是这个方程组的所有的解. 那么路线图有了, 开始干活:

  1. 求零空间特殊解(详见07. 求解 Ax=0,主变量,特殊解)

  2. 求特解 所有自由变量设为 0(这样最方便):

解得$ \begin{cases} x_1 & = & -2 \\ x_3 & = & \frac{3}{2} \end{cases} $

, 代入 $Ax=b$ 求得特解$ x_p= \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ \frac{3}{2} \\ 0 \end{bmatrix} $

然后将特解和零空间中任意向量任意向量加起来, 得到: $ x_{complete}= \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ \frac{3}{2} \\ 0 \end{bmatrix} + c_1\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\0\end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix}2\\0\\-2\\1\end{bmatrix} $

$m \times n$ 矩阵$A$, 秩为 $r \leq min(m, n)$

列满秩

即 $r=n<m$, 例如:

消元后的形式为 $\begin{bmatrix} I \ 0 \end{bmatrix}$, 没有自由列, 零空间中只有$0$向量. 此时的解要么有且只有一个, 要么就没有.

行满秩

即 $r=m<n$, 例如:

消元后的形式为 $\begin{bmatrix} I & F \end{bmatrix}$. 这种情况下, 有自由变量, 所以解为无穷个.

行列满秩

$r=m=n$, 例如:

$A$ 可以化简为 $R=I$,没有自由变量, 其零空间只包含 $0$ 向量, 方程有唯一解.

总结



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