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线性代数 6 - 列空间和零空间

2017-10-18
Geng

人生苦短, 懒得证明.

线性代数的东西, 头脑里有了清晰的图像, 那么跟着感觉走还是比较舒服的.

子空间

上次内容介绍过, 向量空间是对线性运算封闭的. 注意头脑里要出图.

那么, 两个子空间的交集和并集还是子空间吗?

交集

比如两个向量子空间的交集: $A\cap B$, 满足两个向量的所有限制, 封闭在一个更小的空间中, 还可以构成一个子空间. 想象三维空间中两个相交的过原点的平面, 想象他们的交集是不是构成一个子空间.

并集

比如两个向量子空间的并集 $A\cup B$, 包括属于两个向量子空间的所有向量. 想象两个过原点的直线, 分别从两个直线上去任意非零向量, 然后相加, 很明显其和不属于上述两个向量子空间, 所以并集不能产生子空间.

列空间和零空间

这部分内容参见图解线性代数 – 6. 逆矩阵, 列空间和零空间.

有了图像之后, 那么在来看看理论的东西

列空间

对于 $Ax = b$, 能由 $A$ 的列线性组合出的所有向量, 也就是所有 $b$ 的集合, 构成 $A$ 的列空间.

只有 $b$ 在 $A$ 的列空间内时, $Ax = b$ 才有解.

零空间

对于 $Ax = b0, 所有解 $x$ 的集合, 构成 $A$ 的零空间. 在 $R^n$ 中, 零空间也是它的一个子空间.

观察 $Ax=b$, $b$ 不等于零, 那么 $x$ 能够成零空间吗? 想想看 $x=0$ 是一个解吗? 子空间没有 0, 那还能是?

看一个简单的例子, $A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$, 这个矩阵不可逆, 两列线性相关的. 它的零空间是什么呢? $(2, -1)$ 是零空间上的一个向量, 把这个向量看成一个特解, 这个向量所在直线上所有的向量构成零空间. 也就是零空间包含特解的所有线性组合.


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