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线性代数 5 - 置换矩阵与向量空间

2017-10-17
Geng

置换矩阵前面已有提及, 这里继续阐述. 不过最重要内容还是向量空间了, 不到长城非好汉, 不识向量空间不知线性代数.

置换矩阵与转置矩阵

对称矩阵

任意矩阵 $R$都会有 $R^TR$ 为对称矩阵, 简单证明如下:

科学计算中经常会遇到 $R$ 处理成 $R^TR$ 的情况.

$PA=LU$

我们肯定是喜欢 $A=LU$ 这种形式的. 回忆上次内容, $A=(E_{21}^{-1} \cdots E_{ij}^{-1})U = LU$. 这个分解很好, 但是它不一定永远可以. 有时候, 需要行变换才能得到非零主元. 这样的话, 我们就需要一边消元一边做行变换, 或者做完消元再做行变换. 一般, 我们都是做完消元再做行变换, 也就是: $PA=LU$

向量空间

初学者看到矩阵, 看到的是一坨数字. 学了几天之后, 你可能觉得矩阵和向量和向量的线性组合有关. 这部分, 我们再次升华, 我们看看向量的空间. 这才是线性代数的精华.

向量空间可以记为: $R^1$, $R^2$, $R^3$ 等等, 每个 $R^n$ 都包含了整个向量的集合. 这里的 $n$ 就是向量的分量数目, $R$ 代表实数, 也就是我们现在讨论的是实数 n 维空间.

我们可以在 $R^n$ 空间中对象量任意相加, 也可以将向量乘以任意标量, 而且结果仍然在这个空间中. 如果孙悟空是一个向量, 如来佛的手掌心是孙悟空所在的向量空间,不管孙悟空怎么线性蹦跶, 都逃不出如来佛的手掌心.

子空间

在 $R^n$ 之内有一些重要的空间, 即 $R^n$ 的子空间.

首先, 子空间也是空间, 那么它必然是封闭的. 也就是子空间内向量任意相加, 与标量相乘, 都会封闭在这个子空间而不会逃出去.

其次, 子空间也就是父控件的儿子, 也就是子空间属于父空间.

考虑一下, 第一象限是子空间吗?

根据上面讨论, 第一象限的向量可以轻易的通过与一个负数相乘逃出这个空间, 明显这就不是子空间了.

对于一个 $R^2$ 空间, 它的子空间有:

  • 通过原点的直线上的向量
  • 零向量
  • 自己

所有向量空间都必须包含原点

对于更高维的空间, 基本思路一样.


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