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图解线性代数 6 - 逆矩阵, 列空间和零空间

2017-10-15
Geng

提出正确的问题比回答它更难 – 康托尔

我们都知道, 矩阵可以用来解线性方程组, 即将方程组看成系数矩阵与位置变量向量的乘积: $A\vec{x}=\vec{v}$.

$A$ 代表一种线性变换, 那么 $A\vec{x}=\vec{v}$ 就是去找一个 $\vec{x}$, 它经过变换后成为 $\vec{v}$:

要进行这个求解, 我们需要知道矩阵的行列式是否为 0, 是 0 的话就要降维了.

逆矩阵

行列式不为 0

假设不会降维, 也就是 $A$ 的行列式不为 0. 这种情况下, 对于 $A\vec{x}=\vec{v}$, 有且只有一种变换的方法, 这个时候可以通过逆矩阵来找到 $\vec{x}$ , 相当于倒带:

这个变换就是 $A^{-1}$

例如, $A$ 是逆时针旋转 $90^o$, 那么 $A^{-1}$ 就是顺时针旋转 $90^o$:

$A$ 是向右剪切, 那么 $A^{-1}$ 就是向左剪切:

$A^{-1}$ 是满足以下性质的唯一变换: $AA^{-1} = I$ 也就是矩阵和其逆矩阵相乘是单位矩阵, 也就是啥都没做的效果.

行列式为 0

没有逆矩阵. 对于一个 $2 \times 2$ 矩阵, 这个时候矩阵的两列在同一条直线上, 我们没有办法将它展开到一个平面上形成单位矩阵 $I$. (如果可以的话, 降维打击还算个屁啊)

秩其实就是维度, 前面说了一堆维度的问题了, 这里点一下应该就 OK 了吧.

列空间

所有可能的输出向量 $\vec{x}=A\vec{v}$ 构成的集合, 叫做 $A$ 的列空间.

我们一直在说列的问题, 那么这个列空间其实也一样. $A$ 的列就是变换后基向量的位置, 这些变换后的基向量张成空间就是所有可能的变换结果. 换句话说, 列空间就是矩阵的列张成的空间:

所以, 秩更精确的定义是列空间的维度. 满秩就是秩与列数相同

零空间

$\vec{0}$ 一定包含在列空间, 因为线性变换保持原点不变. 满秩变换中唯一不变的就是原点:

对于非满秩矩阵来说, 它将空间压缩到一个更低的维度, 那么就有一系列向量在变换后变为 0向量:

这些变换后落在原点的向量的集合, 就是矩阵的零空间或者:

变换后一些向量落在零向量上, 零空间就是这些向量所构成的空间.

对于线性方程 $A\vec{x} = \vec{v}$, 当向量 $\vec{v}$ 为零向量时, 零空间给出的即使这个方程所有可能解:

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