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概率论 10. 马尔科夫链的性质

2017-06-17
Geng

这部分内容大量使用迭代思想.

迭代基本上就是一种数学上的推卸责任, 然后出一个方程组, 然后就算出来了.

马尔科夫链的长期性质

马尔科夫链模型中, 我们常常关心他的长期状态性质, 关心它收敛的性质.

如果一个马尔科夫链有稳态, 那么对于一个状态 j, 处于它的概率 \(r_{ij}(n)\) 随着 n 的增大会趋近于一个独立于初始状态 i 的极限值, 记为 \(\pi_j\):

这个 \(\pi_j\) 就是状态 j稳态概率.

稳态收敛定理

周期马尔科夫链

首先想象一个周期马尔科夫链, 它有稳态吗? 对于一个周期链, 每步变化都要变为另外一个子集而不是稳定下来, 也就是就算 n 足够大, 也不能稳定在一个值. 显然周期链不具有稳态.

多个长返类的马尔科夫链

然后再考虑有多个长返类的马尔科夫链, 有稳态吗? 回答这个问题, 首先问自己两个问题, 最终状态在哪个长返类? 和初始状态有关系吗? 显然我不知道最终状态在哪个长返类, 而且随着初始状态的不同, 最终在哪里的概率也不相同, 所以有多个长返类的马尔科夫链也没有稳态性质.

非周期, 单个长返类的马尔科夫链

那么我们就考虑非周期, 单个长返类的马尔科夫链. 当 n 很大时, 有:

那么, 假设现在处于 n-1 步, 状态k, 显然也有:

如果现在我要从 n-1步 到 n步, 从状态 k 到状态 j , 所有可能的走法可以写为:

而且所有 \(p_k\)相加和为 1 .

长期频率解释

因为是稳态, 而且和初始状态无关, 那么如果我不知道怎么计算的话, 可以使用暴力计算. 随便设置一个初值, 让计算机计算很大的步数 n , 计算某个状态经历的次数 k , 那么稳态概率可以看做: \(k/n\).

生灭过程

这周马尔科夫链状态转移只发生发相邻状态之间, 或者状态保持不变.

对于这种过程, 关键就是注意到局部平衡

马尔科夫链的短期性质

对于开始于暂态的过程, 我们对首次到达常返态的分布和对应到达时间感兴趣. 对于暂态来说, 常返态是吸收的.

吸收概率

假设一个马尔科夫链, 它有一个吸收状态 s, 对于从状态 i 开始, 最终到达 s 的概率 \(a_i\). 我不知道怎么算, 那么我问问我的下一步状态, 它的短期性质是什么, 综合它们的所有信息:

平均吸收时间

又是迭代了, 我不知道这个时间是多少, 所以我我问问我的下一步, 它的平均吸收时间. 那么我的平均时间就是下一步的平均时间 +1:

平均首访时间和回访时间

和平均吸收时间类似, 都是计算到达某个状态的时间. 没必要记那么多公式, 用的时候自己想想就出来了, 不再说明.

连续马尔科夫链

我们可以用离散马尔科夫链近似连续的, 只要将时间间隔设置到足够小即可. 那么大多数的问题在一个小区间 \(\delta\) 计算即可.


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