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概率论 2. 排列组合

2017-05-21
Geng

按理说,排列组合是不应该单拿出来的,但是因为我自己对这方便怎么都搞不清,所以单独拿出来,以备以后时长更新。

排列组合就是一个数数的过程,数一数到底有多少种结果,是在等可能概率型中的概念。

排列

假设我们正在进行一组试验,如下图所示:

我们可以想象沿着上图的各个分支游走,各个阶段的可能个数分别为n1, n2, n3。那么最后可能的结果就有\(n1 * n2 * n3\)个。

可以注意到,这个时候的结果因为我们沿着不同分支走,有顺序关系,所以是一个排列

n选k

下面分析一下从n个物体中拿出k个物体,有几种拿法。因为是几种拿法,那么肯定是和顺序相关的(如果是可以出来几种结果组合,那么就和顺序无关了)。

第一次,从n中选一个;第二次,从(n - 1)中选一个;第三次,从(n - 2)中选一个;一直重复,直到第k次,从(n - (k - 1))中选一个。那么根据上面讨论,一共有\(n * (n - 1) * (n - 2) *…*(n - k + 1)\)中情况,或者写为:

组合

组合就是看做n个物体中,挑出来k个物体,有几种可能的组合。记为:\( \left( \begin{matrix} n \newline k\end{matrix} \right) \)。

那么如何计算\( \left( \begin{matrix} n \newline k\end{matrix} \right) \)呢?我们可以观察下图:

可见,n挑出k个的组合,可以从另一条路径去理解:首先我们可以看到,n选k排列的话,有\(\dfrac {n!} {(n-k)!}\)种排列方法,那么其中有多少重复的组合呢?看一下另一个路径:“k个数排队”,有k!个排列方法。也就是说,\(\dfrac {n!} {(n-k)!}\)中有k!个重复的组合。那么:


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